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Geometria analitica

 Equazione della retta (Parte seconda) 

Significato di m e q

 Nell'equazione y = mx + q  quando x=0 si ha y = q per cui il parametro q indica l'ordinata  dell' intercetta della retta con l'asse verticale.

Il parametro m fornisce invece la pendenza della retta che è definita come il rapporto  tra l'incremento ?y di ordinata e il corrispondente incremento ?x di ascissa:

                         

 

             

 

 Domanda. Qual'è l'equazione della generica retta che ha pendenza uguale a zero? E quella di una retta qualsiasi che ha pendenza 3 ?             

Esercizio. Individua le pendenze delle seguenti rette:

                 a)   -x + 2y + 3 = 0                     b)    x - 2 y + 5 = 0                              

           c)    x + 1 = 0                              d)    -2y - 2 = 0               

 N.B. Le rette orizzontali (parallele cioè all'asse delle ascisse e quindi di equazione y = k) hanno pendenza nulla. Diremo invece che le rette verticali (parallele all'asse delle ordinate e quindi di equazione x = h) hanno pendenza infinita. 

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Rette parallele

Due rette sono parallele se e solo se hanno la stessa pendenza. Quindi se le equazioni di due rette r₁ e  r₂ sono rispettivamente:

                                                         y = m₁ x + n₁
                                                         y = m₂ x + n₂

 la condizione di parallelelismo di   r₁ e  r₂ è data da:              

                                      

Esercizio. Scriviamo l'equazione della retta che passa per l'origine degli assi e parallela alla retta di equazione y = -2x +5  

                 a)   y = 3x +5                 y = 3x +1

                 b)   y = 2x +3                 y = -2x +3

                 c)   2y + 4x +1 = 0         y +2x -5  = 0

                 d)   x = 5                       x = 8

                 e)   y = 1                        x = 7

Rette perpendicolari (ortogonali)

 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale due rette parallele rispettivamente ai due assi coordinati sono perpendicolari tra loro e le loro pendenze sono una nulla e l'altra infinita. Invece per due rette qualsiasi perpendicolari tra loro ma non parallele agli assi coordinati è facile vedere, sulla base di semplici considerazioni geometriche che il prodotto delle loro pendenze è uguale ad -1.

Quindi se le equazioni delle due rette sono date nella forma:
                                                       y = m₁ x + n₁

la condizione di ortogonalità è data da:

                                                                     

 Domanda. Quali fra le seguenti coppie di rette sono perpendicolari?

                 a)   y = 2x +1                 y = 1/2 x +5

                 b)   y = -1/3 x +5             y = 3x - 1

                 c)   3y + 2x -6 = 0        -4 y +6x +8  = 0

                 d)   y = x - 5                   x = 8

                 e)   y = 7                         x = 12

 

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Retta per un punto

 Dato un punto qualsiasi P₀ (x₀,y₀), l'equazione: 

                                                                                   (1)                                                              

rappresenta sempre, qualunque sia m, una retta che passa per  P₀ (infatti ponendo in tale equazione x = x₀  si ottiene y =  y₀ ). Al variare della pendenza m   tale equazione rappresenta quindi le infinite rette che passano per  P₀ , con l'unica eccezione della retta parallela all'asse delle ordinate che ha invece equazione    x = x₀.  

 Domanda. E' possibile determinare in modo univoco l'equazione di una retta sapendo solo che la retta stessa passa per un punto di coordinate  (x₀,y₀),  ?           

Esempio. Scriviamo l'equazione della retta che passa per il punto P₀ (-1,3) e parallela alla retta di equazione y - 2x +3 = 0

 Retta per due punti

 Se si impone che la retta (1) oltre a passare per P₀  passi anche per    P₁ (x₁,y₁),   con x₁ ¹ y₁   si dovrà avere   y = m(x₁ - x₀) +y₀    da cui:

                                                               m =       

                                                                (2)   ovvero    

Esempio. Scriviamo l'equazione della retta che passa per i punti  P₀ (-1,-2) e  P₁ (1,-3).

Esercizio. Scrivi l'equazione della retta che passa per i punti  P₀ (-1,-2) e  P₁ (0,2).         

Esercizio. Scrivi l'equazione della retta che passa per i punti  P₀ (1,-3) e  P₁(1,5). 

[Mcb] A.Blasi, Matematica corso base Edizioni Kappa, 2001                          

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