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Geometria analitica

( A.Blasi, Matematica corso base  Edizioni Kappa, 2001)

 

Equazione della retta (Parte prima)

 

L'equazione algebrica

                                                            (1)

 con      a, b, c  numeri reali qualsiasi rappresenta sempre, in un sistema di riferimento cartesiano, una retta .

 Infatti :       

 rette parallele all'asse delle ascisse

Se nell'equazione (1) è a = 0 e b ¹ 0, cioè se l'equazione si riduce alla forma by + c = 0 dividendo per b, che per   ipotesi non è nullo, si ottiene y = - c/b, che, posto - c/b = k, diventa :

                                                      

che rappresenta,   in un sistema di riferimento cartesiano,  una retta parallela all'asse delle ascisse  e che   tocca l'asse delle ordinate nel punto di ordinata K.

 

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 B) rette parallele all'asse delle ordinate

Se invece è a ¹ 0 e b = 0, cioè se l'equazione si riduce alla forma ax + c = 0, dividendo per a, che per ipotesi non è nullo, si ottiene  x = - c/a, che, posto   - c/a = k, diventa :

                                       

che rappresenta, in un sistema di riferimento cartesiano, una retta parallela all'asse delle ordinate e che   tocca l'asse delle ascisse nel punto  h .    

Domanda. Quale delle seguenti equazioni rappresenta una retta parallela all'asse delle ordinate (h è una qualsiasi costante reale)?

              a)   x = h     b)  y = h    c) y = 3x +h   

 

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C) rette non parallele agli assi

Se infine è a ¹ 0 e b ¹ 0, dividendo i due membri dell'equazione (1) per b si ( a/b)x+y+c/b = 0, da cui, posto m = - a/b e n = - c/b, si ha:

                                                    (2)      Anche la (2) rappresenta una retta. Infatti dati tre punti qualsiasi le cui coordinate soddisfano la (2) è facile , sulla base di semplici considerazioni geometriche, vedere in generale che essi sono sempre allineati. Ad esempio se consideriamo l'equazione y = 2x +1 e le tre ascisse:

x1 = 1      x2 = 1.5   x3 = 2.8

si hanno le corrispondenti ordinate

y₁ = 2x₁ + 1=3

y₂ = 2x₂ +1=4

y₃ = 2x₃ +1 =6,6

e come si vede dal grafico che segue i tre punti di coordinate

(1, 3)   (1.5 , 4)   (2.8 , 6.6)  sono allineati su una stessa retta 

 

 Ovviamente se prendiamo altre tre ascisse:

x₁ = -1    x₂ = 0,5            x₃ = 1,8

 

y₁ = 2x₁ + 1 = -1         y₂ = 2x₂ + 1= 2       y₃ = 2x₃ + 1 = 4,6

i tre nuovi punti di coordinate: 

(-1,-1)    (0.5 , 2)   (1.8 ,4.6) 

appartengono ancora alla medesima retta dei tre punti precedenti, come si vede dal grafico che segue (i tre nuovi punti sono quelli verdi) 

Esercizio. Per ciascuna delle equazioni algebriche di primo grado che seguono trova due punti le cui coordinate soddisfino l'equazione e disegna la retta che passa per i due punti (cioè la retta che rappresenta l'equazione data).

    a)   -x + 2y + 3 = 0                               b)    x - 2 y + 5                                                c)    x + 1 = 0                                        d)   -2y - 2 = 0                

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